８月末出産予定の妊婦なのですが、失業保険について質問です。自己都合で務めた会社を退職します。

失業保険、受給資格はありますか？現在妊娠5ヶ月。自己都合で務めた会社を退職します。
失業保険の延長手続きをする予定ですが、勤続年数は10カ月でも、受給資格はありますか？

１０ヶ月の雇用保険被保険者期間ということでお答えします。
妊娠、出産、子育てで受給期間延長の場合は「特定理由離職者」に該当しますから６ヶ月以上雇用保険期間があれば受給資格を得ると思います。
念のため一度ＨＷに確認してください。
「補足」
今の会社で１０ヶ月の期間があれば６ヶ月以上あるわけですから前の会社の事は関係ありません。
＞特定理由離職者として、受給延長資格はあるのでしょうか？
そうではなくて受給期間延長することが条件で「特定理由離職者」になるのです。
単に妊娠、出産で退職して延長をしなければただの自己都合退職で雇用保険期間も１２ヶ月以上必要ですから受給資格はありません。

失業保険についてですが、二年勤めていた会社を解雇ではなく、自分から退職した場合、失業保険は受ける事はできないのでしょうか？

＜自己都合退職者の受給条件＞

（１）傷病・妊娠・出産・親族の介護等「正当な理由のある自己都合退職」・・・退職日以前の１年間に６ヶ月以上の雇用保険被保険者期間が必要です。

（２）「正当な理由のない自己都合退職」・・・退職日以前の２年間に１２ヶ月以上の雇用保険被保険者期間が必要です。

最寄りのハローワークへ、「離職票１・２」と「雇用保険被保険者証」と「運転免許証」等の写真付き身分証明書と「預金通帳」と「印鑑（シャチハタは不可）」と「直近３ヶ月以内に撮った写真２枚」※縦３ｃｍ×横２・５ｃｍを持参して「求職申請」して下さい。

８月末出産予定の妊婦なのですが、失業保険について質問です。
妊娠前仕事をしていた為、妊娠発覚後に失業保険の受給資格の延長をしました。
出産後、受給申請をしようと思うのですが、早くていつから申請ができ、待機期間はどの位あるものなんですかね？最速でいつ頃から受給が可能かアドバイスお願いします。
後、出産の際に出産育児一時金の事前申請をしようと思うのですが、申請後に早産になった場合は手続きは間に合うのでしょうか？

〉早くていつから申請ができ
あなたが再就職できる状態になったときです。
産後8週間（診断書がある場合でも6週間）は就業禁止ですから、少なくともこの間はダメです。
※現実には、預かってくれる家族がいるか保育所の手当が付くかしないと「就労可能」と認められにくいようですが。

〉待機期間はどの位あるものなんですかね
そもそも「待機期間」なるものはありません。
「待期7日＋給付制限3ヶ月」です。

90日以上受給期間延長をしたなら、給付制限はありません。

〉申請後に早産になった場合は手続きは間に合うのでしょうか？
何が「間に合う」のか、質問の意図が不明ですが……。

申請がされていれば、医療機関への直接支払いはされるはずですが、詳細は保険者（←保険証に書いてある）に直接聞いてください。

「発覚」って、妊娠は悪いことかしら？

会社を退社して失業保険をもらおうと思っているのですが、仕事をしながらだともらえないって聞いたんですがほんとですか？
会社側が所得を提出している会社に働いているとバレて、保険がもらえなくなる上にもらったお金を返さないといけないみたいなんですがアルバイトでも不正扱いになるのでしょうか？

失業保険受給中の収入はすべて職安に届け出なければなりません。
発覚したときに不正受給分以上の金額を返還しなくてはならないと説明を受けました。（脅しかどうかわかりませんが3倍返しと言われました）
アルバイトでも隠していると不正になります。受給ストップ+返還どころではないですよ。

＞退社して失業保険をもらおうと・・・

自己都合での退職は退社してもすぐにもらえません。
事前によくお調べになったほうがいいです。